Definition 3.2.1.
\(G\)を可換とは限らない群とする。
Section 3.2 交換子群と可解群
Proposition 3.2.2.
任意の群\(G\)のAbel化は常に可換群であり、準同型\(\phi: G\to H\)に対して、Abel化はその準同型\(\phi^{ab}:G^{ab}\to H^{ab}\)を誘導し、\(\pi_H\circ\phi=\phi^{ab}\circ \pi_G\)が成立する。
Proof.
\(G^{ab}:=G/[G,G]\)の元\(a, b\)をとる。定義より\(a,b\)は\(a[G,G]\)という形をしている。剰余演算の定義により
\begin{equation*}
a[G,G]\bullet b[G,G]=(ab)[G,G]
\end{equation*}
である。\((ab)[G,G]=(ba)[G,G]\)は\((ab)(ba)^{-1}\in [G,G]\)と同値であるから、Abel化の定義により\(G^{ab}\)は可換である。
後半を示す。\(\phi:G\to H\)の存在を仮定する。\(G^{ab}\to H^{ab}\)を\(a\mapsto \pi_H(\phi(a))\)で定義すればよい。well-definednessは自明である。
Definition 3.2.3.
\(G\)を群とする。部分群の列
\begin{equation*}
G=G_0\supset G_1\supset \cdots \supset G_n=\{1\}
\end{equation*}
が存在し、各\(i\)に対し\(G_{i+1}\triangleleft G_i\)であり、かつ\(G_i/G_{i+1}\)が可換群であるものを可解群(solvable group)という。
\(Z(G)\)を、任意の\(g\in G\)と可換な\(G\)の元からなる集合とし、これを\(G\)の中心(center)という。先ほど考えた列に対して、\(G_{i+1}\triangleleft G\)で、\(G_i/G_{i+1}\subset Z(G/G_{i+1})\)なら、\(G\)を冪零群(nilpotent group)という。
