第2章の演習問題と略解

Exercises Exercises

1.

$G=\{0,1\}$とする。この集合に群構造を入れないような演算を1つ定めよ。

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Answer.

\begin{equation*} 0\bullet 0=0,0\bullet 1=1\bullet 0=0, 1\bullet 1=1 \end{equation*}

とすればよい。

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2.

$\mathbb R^\times :=\mathbb R\setminus \{0\}$を通常の乗法によって群とみなすとき、

\begin{equation*} \mathbb R_{\gt}=\{x\in \mathbb R;x\gt 0\} \end{equation*}

はその部分群であることを示せ。

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Answer.

$x,y\in \mathbb R_{\gt}$をとる。$xy^{-1}=\frac{x}{y}$は必ず正であり、$1_\mathbb R$も正なのでこれは部分群である。

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3.

$\mathbb R$を加法群とみなしたとき、$\mathbb R_\gt$は$\mathbb R$の部分群ではないことを示せ。

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Answer.

例えば$5,1\in \mathbb R_\gt$だが$1-5=-4\notin \mathbb R_\gt$である。

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4.

$g\in G$に対して$g^2=1$なら$G$は可換であることを示せ。

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Answer.

$g,h\in G$をとる。$(gh)(gh)=1$であり、結合法則から$g(hg)h=1$である。よって$hg=gg(hg)hh=g1h=gh$となり、任意の$g,h$について$gh=hg$なので、$G$は可換群である。

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5.

$N_1,N_2$が$G$の正規部分群なら、$N_1N_2$もそうであることを示せ。

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Answer.

$n_1\in N_1, n_2\in N_2$をとる。任意の$g\in G$に対して

\begin{equation*} gn_1g^{-1}\in N_1, gn_2g^{-1}\in N_2 \end{equation*}

である。よって

\begin{equation*} gn_1g^{-1}gn_2g^{-1}=gn_1n_2g^{-1} \in N_1N_2 \end{equation*}

である。これで正規性が言え、$N_1N_2$は明らかに$G$の部分群なので題意が示された。

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6.

$\mathbb R$を加法群とみなすとき、$a\in \mathbb R^\times$に対して$\mathbb R/\mathbb Z\cong \mathbb R/a\mathbb Z$であることを示せ。

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Answer.

準同型$\mathbb R\to \mathbb R/a\mathbb Z$を、核が$\mathbb Z$であるように作ればよい。$f_a(x)=ax+a\mathbb Z$とすると、

\begin{equation*} f_a(0)=a\mathbb Z, f_a(x)+f_a(y)=a(x+y)+a\mathbb Z=f_a(x+y) \end{equation*}

だから準同型。$ax+a\mathbb Z$が0となるのは$x\in \mathbb Z$のときに限るから$\ker(f_a(x))=\mathbb Z$である。さらに、$x\in \mathbb R/a\mathbb Z$は$x+an,(n\in \mathbb Z)$の形をしているから、$\frac{x}{a}$などをとれば逆像は空ではない。よって$f_a$は全射であり、すなわち$\mathrm{Im}(f_a)=\mathbb R/a\mathbb Z$である。よって準同型定理より$\mathbb R/\mathbb Z\cong \mathrm{Im}(f_a)=\mathbb R/a\mathbb Z$となる。

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7. 楕円曲線の構造決定.H.

有理数体$\mathbb Q$上の楕円曲線(elliptic curve)とは、$a,b,c,d\in \mathbb Q$に対して$y^2=ax^3+bx^2+cx+d$であり、かつ$a\neq 0$で、右辺の三次式が重根を持たない(判別式$=-16(4a^3+27b^2)\neq 0$)ものの関数としてのグラフである。次の問いに答えよ。

$E$を$\mathbb Q$上の楕円曲線とする。$E$を定義する方程式の解集合

\begin{equation*} V(E)=\{(x,y)\in \mathbb Q\times \mathbb Q;y^2=ax^3+bx^2+cx+d\} \end{equation*}

に、無限遠点とよばれる一点$O\neq (0,0)$を加えた$E(\mathbb Q):=V(E)\cup \{O\}$に可換群の構造を与える、次の文章の空欄$\mathrm{(i)\sim (vii)}$を埋めよ。

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$O$を単位元とする。$P=O$なら$P+Q=Q,$$Q=O$なら$P+Q=P$とする。$P,Q\neq O$の時の和を定める。
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$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$とおく。$x_1\neq x_2$と仮定する。このとき直線$PQ$は

\begin{equation*} y=\dfrac{(\mathrm i)}{(\mathrm{ii})}(\mathrm{iii})+y_1 \tag{1.1} \end{equation*}

で与えられる。この直線と楕円曲線の交点を求める。先ほどの式を$E$の定義式に代入して、

\begin{equation*} qx^3+rx^2+sx+t \tag{$q,r,s,t\in \mathbb Q, q\neq 0$} \end{equation*}

の形の式を得る。$x_1,x_2$はこの式の解だから、$qx^2+rx^2+sx+t$は$(\mathrm{iv})$と$(\mathrm v)$で割り切れ、

\begin{equation*} qx^3+rx^2+sx+t=q(\mathrm{iv})(\mathrm v)(x-x_3) \tag{$x_3 \in \mathbb Q$} \end{equation*}

の形の因数分解ができる。

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(1.1)で$x=x_3$とおいたときの$y$を$y_4$とおき、$y_3:=-y_4$とおくとき、$(x_3,y_4)$は$E$と$PQ$の交点である。このとき、

\begin{equation*} P+Q:=(x_3,y_3) \end{equation*}

と定める。$x_3,y_3$を計算すると、

\begin{equation*} x_3=\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{(\mathrm i)}{(\mathrm{ii})}\right)^2-(\mathrm{vi})-(x_1+x_2) \end{equation*}

\begin{equation*} y_3=-\dfrac{(\mathrm i)}{(\mathrm{ii})}x_3+\dfrac{y_2x_1-y_1x_2}{(\mathrm{ii})} \end{equation*}

である。

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つぎに、$x_1=x_2$の場合を定義する。
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$y_1=-y_2$の場合は$P+Q=O$と定める。$y_1\neq -y_2$の場合、$P=Q, y_1\neq 0$である。この場合、$PQ$は$E$の$P$における接線(ただ1つの点で$E$と接する直線)で、次の式で与えられる:

\begin{equation*} y=\dfrac{3ax_1^2+2bx_1+c}{2y_1}(x-x_1)+y_1 \tag{1.2} \end{equation*}

(1.2)を$E$の定義式に代入して、再び

\begin{equation*} qx^3+rx^2+sx+t=0 \tag{$q,r,s,t\in \mathbb Q, q\neq 0$} \end{equation*}

の形の方程式を得る。三次方程式は3つの解を持つが、(1.2)は接線だから$E$との交点が2つであり、$\mathrm{(vii)}$はこの方程式の重解である。したがって

\begin{equation*} qx^3+rx^2+sx+t=q(x-\mathrm{(vii)})^2(x-x_3) \tag{$x_3\in \mathbb Q$} \end{equation*}

の形の因数分解ができる。

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(1.2)での$x=x_3$とした時の値を$y_4$、そして$y_3:=-y_4$とおくとき、$P+Q:=(x_3,y_3)$とする。
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$\mathbb Q$上の楕円曲線$y^2=x^3-4$で$P=(2,2)$の場合、$2P$を計算せよ。
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この群構造は$\mathbb F_2$上の楕円曲線$E(K)$に対して、この問題で行ったのと同じ形(ワイエルシュトラスの標準形)では定義できない。その理由を述べよ。
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Answer.

1. $\displaystyle y_2-y_1$
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2. $\displaystyle x_2-x_1$
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3. $\displaystyle x-x_1$
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4. $\displaystyle x-x_1$
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5. $\displaystyle x-x_2$
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6. $\displaystyle \dfrac{b}{a}$
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7. $\displaystyle x_1$
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接線の方程式は$y=\dfrac{12a+2bx_1+c}{4}(x-2)+2=3x-4$であり、定義式に代入すると

\begin{equation*} x^3-9x^2+24x-20=0 \end{equation*}

を得る。$(2,2)$は重解だから、多項式を割り算して因数分解

\begin{equation*} (x-2)^2(x-5)=0 \end{equation*}

を得る。$2P$の$x$座標は5だから、$3x-4$に代入して$11$が出てくる。これにマイナスをつけた$(5,-11)$が求める座標。

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微積の素養がある読者は、接線ならばと微分で求めてみるものよい。$P$における接線の傾きは

\begin{equation*} 2y\dfrac{dy}{dx}=3x^2 \end{equation*}

だから、$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{2y}$となり、傾きは$3$であるとわかり、傾きが3で$P(2,2)$を通る直線は$y=3x-4$と出てくる。後は同様である。

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$\mathbb F_2$では$2x$の形の元が消えるから、定義式が重根を持つため。実際、判別式$-16(4a^3+27b^2)$は、$-16$が偶数であるため、$\mathbb F_2\cong \mathbb Z/2\mathbb Z$上で消える。
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テトリスと代数学 Algebra and its application to Tetris

Section 2.8 第2章の演習問題と略解

Exercises Exercises

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 楕円曲線の構造決定.H.