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Section 2.5 剰余群
なんらかの対象を、別の対象と同じものとしてみなしたいという意識は、数学の至る所に登場する。それは群論においても同様である。この節では、集合の元同士にある種の関係を定義し、その集合を互いに素なものに分割する「同値関係」という概念を学ぶ。
正の整数
\(n\)をとる。
\(x,y\in \mathbb Z\)に関して、
\(x-y\)が
\(n\)で割り切れるとき、
\(x \equiv y \pmod n\)と書くのだった。この記号で無限環である
\(\mathbb Z\)の元をあまりの概念を用いてグループ分けし、構造を大幅に簡略化していることがわかるであろう。
mod演算はこのように、状況に応じて整数の構造を簡略化することで、より高度な概念を簡単に考えられる定式化である。「LTEの補題」はその典型例であり、数論の「楕円曲線論」という分野で使用されることがある。そのほか、いわゆる数学オリンピックの整数問題において、"Vieta Jumping"などの手法とあわせて絶大な威力を発揮し、問題と出場者のレベルの上昇を起こしたようである。
今見たように、mod演算での整数の分割は豊富な理論をもつ。これを一般の群やその他の代数構造に拡張するため、mod演算の持つ性質を取り出し、同値関係の概念を定義する。
Subsection 2.5.1 同値関係
Definition 2.5.1.
-
集合A上の元同士の関係\(\sim\)が次を満たすとき、\(\sim\)を\(A\)の同値関係(equivalence relation)という。
-
(反射律).
\(\displaystyle a \sim a\)
-
(対称律).
\(\displaystyle a \sim b \implies b \sim a\)
-
(推移律).
\(\displaystyle a \sim b, b\sim c \implies a \sim c\)
-
\(A\)の同値関係
\(\sim\)と任意の
\(x\)に対して、集合
\(\{y\in A; y\sim x\}\)を
\(x\)の
同値類(equivalence class)という。
次に、さきほど見た「整数の分割」を、任意の集合に対して一般化する。
Definition 2.5.3.
\(S\)を集合、\(\sim\)をその上の同値関係とする。
-
\(\sim\)によって作られた同値類の全体を
\(S/{\sim}\)と書き、
\(S\)の
\(\sim\)による
商(quotient)という。
\(S\)の各元に対して
\(S/{\sim}\)の集合が1つ対応する。これを
\(S\)から
\(S/{\sim}\)への
自然な写像(natural map)という。
-
\(S/{\sim}\)の元
\(C\)に対し、
\(x\in C\)となる元を
\(C\)の代表元という。これは同値類をラベリングするだけの元なので適当に選んでよい。
-
\(S\)の部分集合が各同値類の代表元をちょうど1つずつ含むなら、それを
\(\sim\)の
完全代表系(representative)という。
選択公理(第2章4節)より、すべての同値類から代表元を1つずつ選ぶことが可能である。よって、ZFCでは完全代表系は常に存在する。
Subsection 2.5.2 剰余類
群の剰余類を定義しよう。まだこれは剰余群の定義ではない。
Definition 2.5.4.
\(G\)を群、
\(H\)をその部分群、
\(x,y\in G\)とする。
\(x^{-1}y\in H\)であるとき、
\(x\sim y\)と定義する。これは明らかに同値関係であり、商集合
\(G/H:=G/{\sim}\)を
\(G\)の
\(H\)による
左剰余類(left quotient class)という。同様に
\(y^{-1}x\in H\)も同値関係となり、商集合をとることによって右剰余類を定義できる。
明らかに、
\(G\)が可換なら右剰余類と左剰余類は一致する。
Definition 2.5.5.
\(G\)を群、
\(H\)をその部分群とする。任意の
\(g\in G, h\in H\)に対して
\(ghg^{-1}\in H\)となるとき、
\(H\)は
\(G\)の
正規部分群(normal subgroup)であるといい、
\(H \triangleleft G\)と書く。
\(G\)が可換なら
\(ghg^{-1}=gg^{-1}h=h\)なので、
\(H\)は常に正規部分群である。
Proposition 2.5.6.
\(\phi :G_1\to G_2\)を準同型とするとき、
\(\ker(\phi)\triangleleft G_1\)である。
Proof.
\(h\in \ker(\phi), g\in G_1\)をとる。
\(\phi(ghg^{-1})=\phi(g)\phi(g)^{-1}\phi(h)=1_{G_1}\)であり、
\(1_{G_1}\in \ker(\phi)\)なので示せた。
Subsection 2.5.3 剰余群
では、お待ちかねの剰余群を定義しよう。そのために次の補題を示す。
Lemma 2.5.7.
\(N\)を
\(G\)の正規部分群とし、
\(g\in G\)とする。このとき
\(gN=Ng\)である。なお、
\(gN:=\{gn; n\in N\}\)である。
Proof.
\(n\in N\)をとる。
\(m:=gng^{-1}\)とすると
\(m\in N\)で、
\(gN\ni mg=gn\in Ng\)である。これで
\(gN\subset Ng\)がいえた。同様にして
\(Ng\subset gN\)も成り立つ。
上の補題は正規部分群なら剰余類が一致することを言っている。
\(G/N\)の元\(N_1,N_2\)を、それぞれの代表元\(g,h\)をとって\(gN,hN\)と表す。\(gN,hN\)に対する演算を、
\begin{equation*}
gNhN=ghN
\end{equation*}
で定義する。
さて、勘のいい読者は気づかれたかもしれないが、この演算はwell-definednessが問題になる。どういうことかというと、この演算は要は集合から元を1つ適当に選び(代表元の定義を参照)、それともう1つの代表元をかけているのである。代表元は選び方に特に制約を設けていない以上、異なる元
\(g_1,g_2\in N_1\)(
\(h\)の場合も同様)を選んで計算しても、最終的にそれらがイコールで結ばれることを証明しないといけないのである。
このように、剰余をとるときにはwell-definednessが絡んでくるのである。以下、その証明を行う。
\(gN,hN\)の元は
\(n,n'\in N\)を使うことで
\(gn,hn'\)と書ける。すると
\(gnhn'=ghh^{-1}nhn'\)だが、
\(N\)が正規部分群なので
\(h^{-1}nh, h^{-1}nhn\in N\)である。これを用いると
\(gnhn'\in ghN\)とでき、両者の剰余類が等しいことがわかる。
\(G/N\)が群となることは明らかである。実際、単位元は\(1_GN=N\)とすればよく、
\begin{equation*}
((gN)(hN))(kN)=(ghN)(kN)=((gh)k)N=(g(hk))N
\end{equation*}
なので結合法則が成り立つ。逆元も\(g^{-1}N\)とすればよい。
Definition 2.5.8.
上の考察により定まった群を
\(G\)の
\(N\)による
剰余群(quotient group)という。
商集合の定義で触れた自然な写像
\(\pi: G\to G/N\)は全射準同型であり、
\(\ker (\pi)=N\)である。証明は容易なので、各自が試してみるとよい。
