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テトリスと代数学 Algebra and its application to Tetris

著者: Sora3

Section 3.1 群作用

前に少し触れたように、パリティ追跡理論では盤面の集合に、パリティを表現した特定の群を「作用」させ、それについて考察することによってさまざまな性質を解明するものである。つまり、群が盤面の状態たちをどう動かすかを見るのである。 ほかにもこの章のコラムで少しだけ扱うGalois理論では、体を係数とする方程式の根の集合に、根を入れ替える操作(置換という)として「作用」するGalois群が出てくる。これも、Galois群が体上での根の間の代数的な関係(\(\alpha_1+\alpha_2=\sqrt 5\)、等)を保ちながら、根をどう動かすかを見ているといえる。
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このように、集合の元に関する「変化」を定量的に記述するのが群作用の概念である。この節では群作用を定義し、その基本的性質を見る。
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Definition 3.1.1. 群作用.

群\(G\)と集合\(X\)に関して、\(G\)の\(X\)への左作用(left action)とは、写像\(\phi: G\times X \to X\)で、次を満たすものである:
  1. \(\displaystyle \phi(1_G,x)=x\)
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  2. \(\displaystyle \phi(g,\phi(h,x))=\phi(gh,x)\)
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(2)の代わりに\(\phi(g,\phi(h,x))=\phi(hg,x)\)を満たしているなら、\(\phi\)を右作用(right action)という。
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作用\(G\times X\to X\)が存在するとき、\(G\)はXに作用する(\(G\) acts on \(X\))という。以下、特に断らなければ作用は左作用であるとし、左作用の時には\(\phi(g,x)\)を\(gx\)と、右作用の時には\(xg\)と書く。
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\(gx=y\)となっているとき\(g\)によって\(x\)が\(y\)に移るという。\(g\)を写像として考えた時、\(g^{-1}\)が\(g\)の逆写像なので、誘導される写像\(g:X\ni x\mapsto gx\)は全単射である。
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Example 3.1.2.

実数体上の一般線形群\(\mathrm{GL_2(\mathbb R)}\)と群\(G\)、および準同型\(\wp: G\to \mathrm{GL_2(\mathbb R)}\)があったとき、2次元列ベクトルとしての\(\bm x\in \mathbb R^2\)に対して、行列の積\(\wp(g)\bm x\)が定義できる。行列は結合的なので、
\begin{equation*} \wp(g)(\wp(h)\bm x)=(\wp(g)\wp(h))\bm x=\wp(gh)\bm x \end{equation*}
である。これを線形作用(linear action)という。
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\(G\)が有限集合\(\{x_1, \dots , x_n\}\)に左から作用するとする。\(x_{\wp(g)(i)}:=g\bullet x_i\)とおく。\(\wp(g)\)は\(X\)の置換をひきおこし、写像\(\wp:G\to \mathfrak S\)を誘導する。
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Proof.

\(x_{\wp(gh)(i)}=g(h\bullet x_i)=gx_{\wp(h)(i)}=x_{\wp(g)\circ \wp(h)(i)}\)である。
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この\(\wp\)を置換表現(permutation representation)という。
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Proof.

\(G\)から\(G\)への自然な作用を考える。置換表現\(\wp\)に対して\(\wp(g)=1\)なら、\(gh=h;\forall h\in G\)なので、\(h=1_G\)とすると、\(g=1_G\)になる。したがって\(\ker(\wp)=\{1_G\}\)である。これは単射性を意味する。実際、\(\wp(g)-\wp(h)\in G\)が\(1_G\)なら\(\wp(g-h)\in \ker(\wp)\)であり、\(\ker(\wp)=\{1_G\}\)であったから、両者は一致する。
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Definition 3.1.5.

\(G\)が\(X\)に作用しているとする。
  1. \(x\in X\)に対して
    \begin{equation*} \mathrm{Orb}_G(x):=\{gx; g\in G\} \end{equation*}
    と書き、軌道(orbit)という。
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  2. \(x\in X\)に対して
    \begin{equation*} \mathrm{Orb}_G(x)=X \end{equation*}
    であるとき、この作用は推移的(transitive)であるという。\(X\)のことを等質空間ということもある。
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  3. \begin{equation*} \mathrm{Stab}_G(x):=\{g; gx=x\} \end{equation*}
    と定義し、\(X\)の安定化群(stabilizer group)という。
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