Definition 2.3.1.
\(G\)を群とする。部分集合\(H\subset G\)が以下を満たすとき、\(H\)を\(G\)の部分群(subgroup)であるという。
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\(\displaystyle 1_G\in H\)
上に挙げた条件(2),(3)を直接確認するよりも、\(xy^{-1}\in H\)という形で一度に確認する方が少し楽な場面もある。
Section 2.3 部分群と生成元
何かしらの群\(G\)を調べるときに、まず初めから\(G\)について何か考察するのは、目処が立ちにくい。 その代わり、\(G\)の構造を保持する、より小さい群を見るというのが常套手段である。したがって、次に定義する部分群の概念は基本的である。
Proposition 2.3.2.
Proof.
\(1_G \in H_1, H_2\)なので、明らかに\(1_G\in H_1\cap H_2\)である。\(x, y\in H_1\cap H_2\)をとると、これは\(H_1, H_2\)に入っている。したがって、\(x-y\in H_1\cap H_2\)である。
\(G\)を群、\(S\subset G\)を部分集合とする。\(S\)の元を\(G\)内で\(x^{\pm 1}_1 \dots x^{\pm 1}_n\)という形に自由に掛け合わせたとき、その全体を\((S)\)と書き、\(S\)の元による語(word)という。なお、\(n=0\)なら\(1_G\)を表すとする。
Proposition 2.3.3.
Proof.
\(n=0\)の場合により、\(1_G\in (S)\)である。\(x,y\in (S)\)をとると\(x=x^{\pm 1}_1x^{\pm 1}_2\cdots x^{\pm 1}_n, y=x^{\pm 1}_{n+1}\cdots x^{\pm 1}_m\)であり、指数法則から\(xy^{-1}\)も語である。よって\((S)\)は\(G\)の部分群である。
最小性は明らかである。実際、題意は「部分群\(H\in G\)が\(S\subset H\)なら、\((S)\subset H\)である」と言い換えることができる。そのような\(H\)の存在を仮定する。\(x\in (S)\)をとる。\(x\)は\(S\)の元の積だから、同じ演算によって\(H\)の元となる。したがって題意が示された。
