\(\mathbb{R}^2\)は平面座標を表す。
Section 1.2 集合と論理
集合の元や包含関係に関する用語を準備することから始めよう。
\(x \in X\)と書いて、\(x\)は集合(Set)の元(element)という。逆に\(X \ni x\)と書くこともある。\(X\)を空間的なものとして扱う時、\(x\)を\(X\)の点(point)という。
数学者のほとんどは元を小文字で、集合を大文字で書く習慣がある。この習慣に従うことで数学的記述が読みやすくなる。
集合\(X, Y\)について、任意の\(x \in X\)に対し\(x \in Y\)であるとき、\(X \subset Y\)と書き、\(X\)は\(Y\)の部分集合(subset)という。\(X\subset Y\)かつ\(Y \subset X\)であるとき\(X=Y\)と書く。
複雑な条件を記述する場合、論理記号(logical symbol)を用いる。「\(P\)ならば\(Q\)である」ことを\(P \implies Q\)と書く。「任意の\(x\)について\(P\)が成り立つ」ことを\(\forall x P\)と表し、「\(P\)を成り立たせるような\(x\)が存在する」ことを\(\exists x P\)と表す。一意的存在は\(\exists ! x\)と書く。
集合\(X\)とその元\(x\)を考える。条件\(P(x)\)を満足する\(x\)の全体は\(X\)の部分集合となり、
\begin{equation*}
\{x \mid P(x)\}
\end{equation*}
で表す。これを内包表記(builder notation)という。
元を含まない集合を空集合(empty set)といい、\(\emptyset := \{x \mid x\neq x\}\)で定義する。
集合\(A,B\)について、ペア\((a,b)\)（\(a \in A, b \in B\)）全体の集合を\(A\times B\)と書き、直積集合(product set)という。\(n\)回の直積を\(A^n\)で表す。
集合\(A\)のすべての部分集合の集合を\(2^A\)または\(\mathcal{P}(A)\)と書き、冪集合(power set)という。例えば\(A=\{0,1\}\)のとき、\(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset, \{0\},\{1\},\{0,1\}\}\)である。有限集合\(A\)の各元について含む/含まないの2通りの選択があるため、\(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\)である。
現代数学では、任意の集合間の対応関係を写像(mapping)という。集合\(A\)から\(B\)への写像\(f\)を\(f:A \to B\)と書き、\(a \mapsto f(a)\)で値の対応を表す。
写像\(f:A\to B, g:B\to C\)について、\(f\)の値域が\(g\)の定義域に含まれるとき、写像の合成(composition)\(g \circ f\)を\(x \mapsto g(f(x))\)で定義する。
Example 1.2.1.
Proposition 1.2.2.
集合\(X\)と写像\(f:X\to A, g:X\to B\)が与えられたとき、直積\(A\times B\)と射影\(\pi_A:A\times B \to A, \pi_B:A\times B \to B\)に対して、以下が成り立つ：
-
一意な写像\(u:X\to A\times B\)が存在し、\begin{equation*} \pi_A \circ u=f, \quad \pi_B \circ u = g \end{equation*}を満たす。
Proof.
\(\pi_A(a,b)=a, \pi_B(a,b)=b\)とし、\(u(x):=(f(x),g(x))\)で定義すれば、可換性が従う。一意性について、任意の写像\(v\)が可換性を満たせば、各\(x\)で\(v(x)=(s,t)\)とするとき、\(s=(\pi_A\circ v)(x)=f(x)\)および\(t=g(x)\)となるため\(v=u\)である。
Remark 1.2.3.
この命題は圏論(category theory)における直積の普遍的性質を表している。直積は集合論の基本的な構成であり、群論や環論でも頻出する。同様の性質は群や環、さらに一般の圏においても成立する。非交和\(A\sqcup B\)は直積の双対概念であり、同様の普遍的性質を持つ。
冒頭で「集合の定義はしない」と述べた理由は以下の通りである。
標準的な論理体系「ZFC」（Zermelo-Fraenkel集合論と選択公理）では、集合と帰属関係\(\in\)を無定義概念として、それらが満たす公理を列挙することで集合を扱う。これは論理的矛盾（例えばラッセルの逆理）を避けるためである。
ZFC以外の集合論も存在する。例えば、選択公理の下での数学の性質や、排中律を認めない「直観主義」がある。しかし直観主義的数学は古典論理での基本的な結果も成立しない場合があるため、現在ではZFC体系が標準となっている。
