Preface Preface
テトリスを様々な側面から代数的に解析する諸研究は、その興味深さとは裏腹に、まとまった参照先が存在せず、前提知識も必須であるため、敷居が少し高いのが現状である。 本書はそのような代数学の基礎と、テトリスへの豊かな応用を集積し、今ある巨大な知識格差を是正することを目的とした、必要な理論を体系的に学べるオンライン教科書である。
特にパリティ追跡理論(PTT)は、一手ごとに刻々と変化するパリティを「群作用」という形でモデル化し、様々な考察を数学という強固な後ろ盾のもとに行えるようにした重要な理論である。
加えて本書は、可換環論を用いた領域のタイリング可能性の判定についても解説する。パリティ追跡がパリティの「動的」な変化をとらえるものであったのと対照的に、この理論ではミノに対する地形の変化を扱いやすい形で記述し、「汎函数」とよばれる写像と比べることによって、充填可能性という「静的」な性質を証明する。 パリティ追跡の基礎理論は完成していると言っても差し支えないが、こちらは手法が純粋数学に近い分、未開拓の結果や一般化が、それこそ巨大な氷山のようにどっさりと残されているというのが著者の所感である。加えて、未解決問題がいくつも提起されている。
本書の目標は、この2つの理論を必要な基礎知識を丁寧に補った上で解説することである。具体的には集合論、群論、可換環論、圏論、順序集合の一般論を説明し、第II部よりテトリスへの応用を論じる。他を参照しなくとも本書のみで進められるよう(Self-contained)解説する。
第I部では各理論の一般論を通常の数学書と同等程度で展開する。その分重くなり過ぎないよう、各章に1つ、現代数学とその章の内容との関わりを紹介するコラムを設けた。扱う内容は本書のレベルを超えるものばかりだが、数学の面白さを伝えることが目標である。第I部のみ各章の終わりに演習問題をつけた。
問題には難易度をH、C、K(Hard、Column、Knowledge)で区別した。無印の簡単な問題は8、9割解けるようになっていただきたい。難問には誘導をつけているため、実際にはあまり難しくない。
各問題には略解(Answer.)またはヒント(Hint.)を設け、読者の理解を助けるようにした。なお全ての解答とヒントは、数学書から問題を引っ張ってきた著者がその場で思いついて書くというキチガイ執筆メソッドを採用しているため、万が一にも誤りがある可能性があることをこの場を借りてお詫びしておきたい。
研究では英字論文を参照することもあるため、各用語には英語訳をつけた。
第II部では、Ogonek:Macron氏のnoteの行間を埋める形でパリティ追跡理論を解説し、その後タイリングの理論を解説する。
最後に、Ogonek:Macron氏には著者の大雑把な原稿にお目を通していただき、多数のご指摘・ご修正を賜った。この場を借りて感謝申し上げたい。
