1.
\(\mathbb Rから\mathbb R\)への全単射の例を3つ挙げよ。
Section 1.6 第1章の演習問題と略解
Exercises Exercises
2.
全射、単射の定義を「送られる」とか「送られてくる」というような言葉を使って表現せよ。それと全射、単射の定義を照らし合わせ、形式的な定義で何を言おうとしているのかを掴め。
3. H.
\(f:A\to B\)が全単射であることと、\(f\)が逆写像\(g\)を持つ(\(g\circ f=\mathrm{id}_Aかつf \circ g=\mathrm{id}_B\)、なお\(\mathrm{id}\)は入力と出力が一致する写像)ことが同値であることを証明せよ。
Hint.
Answer.
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\(\implies\).\(a\in A, b\in B\)をとる。\(g\)として\(f^{-1}\)を選ぶ。全射性より\begin{equation*} (g\circ f)(a)=f^{-1}(f(a))=\{x\in A; f(x)=f(a)\}=a \end{equation*}となり、\(f\)は単射だから\(g\circ f=\mathrm{id}_A\)である。次に\(f(f^{-1}(b))=b\)を示す。\(f\)は全射なので\(f(a)=b\)なる\(a\in f^{-1}(b)\)が存在し、\(a\)は単射なので\(a\neq a'\in f^{-1}(b)\)なら\(b=f(a)\neq f(a')\)である(単射性の対偶)ため\(a=a'\)である。よって\(f^{-1}\)はただ一つの元からなり、問題の合成は\(\mathrm{id}_B\)に等しい。
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\(\impliedby\).まず\(g\circ f=\mathrm{id}_A\)とする。\(a,a'\in A\)をとると\(g\circ f(a)=g\circ f(a')\)なら\begin{equation*} \mathrm{id}_A(a)=a=a'=\mathrm{id}_A(a') \end{equation*}なので単射性がいえる。\((g\circ f)^{-1}(b)=\{x\in B; \mathrm{id}_A(x)=a\}\)だが、\(\mathrm{id}_A(a)=a\)なのでこれは明らか。逆もまったく同様である。
4.
写像\(f:A\to B\)を考える。任意の部分集合\(S\subset B\)について、
を証明せよ。
Answer.
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\(\subset\).\(x\in f^{-1}(f(f^{-1}(S)))\)をとる。\begin{equation*} A=\{a\in A;f(a)\in f(f^{-1}(S))\subset S\} \end{equation*}となり、\(f(a)\in S\)なので、\begin{equation*} A=\{a\in A;a\in f^{-1}(S)\} \end{equation*}である。仮定より\(x\in f^{-1}(S)\)なので、題意が示された。
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\(\supset\).\(x\in f^{-1}(S)\)をとる。(i)より左辺\(=\{a\in A;a\in f^{-1}(S)\}\)なので\(x\in f^{-1}(S)\implies x\in A\)である。
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\(\subset\).
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\(\implies: f\)が全射なら\(s\in S\)に対して\(a\in Aがあり、f(a)=s\)である。よって\(s\in f(f^{-1}(S))\)である。逆に\(s\in f(f^{-1}(S))\)に対しても\(f(a)=sとなるa\in A\)があり、\(a\in f^{-1}(S), f(a)=s\in S\)なので等号がわかる。
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\(\impliedby: f(f^{-1}(S))=S\)は空でないと仮定してよい(空なら命題が意味をもたない)。\(f(\emptyset)=\emptyset\)にしかなり得ないことを考えると、逆像が空ではないので全射性がわかる。
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5.
well-definednessが問題になる状況を挙げよ。
6.
Answer.
\(a\in A, b\in B\)に対して、\(A\times B\)の元は\((a,b)\)という形になっているのであった。仮定より、全単射\(f:A\to A', g:B\to B'\)が与えられている。 \(\pi: A\times B\to A\)を\((a, b)\mapsto (f(a), g(b))\)で定義すれば、これは明らかに全単射である。実際、\(\pi(a,b)\neq \pi(a',b')\)なら\((f(a),g(b))\neq (f(a'),g(b'))\)であり、 \(f,g\)は単射でもあるので\(\pi\)の単射性が成り立つ。全射性も同様にして、\(f,g\)が全射であることから、\(\pi\)の逆像が空になる元は存在しないので全射性も言える。
7.
仮定\(\implies\)結論 という命題において、仮定が誤っているならば、数学で通常用いる論理体系では結論は常に真である。例えば部屋にスマホがあるなら、その電源は切れているという命題を考える。 この状況で仮定が偽、つまり部屋にスマホが存在しない状況を考えれば、電源の入ったスマートフォンは部屋に存在しない。したがってこの命題は真となる。 この現象を「空虚な真」と呼ぶ。これを使って、「空集合が任意の集合の部分集合である」ことを証明せよ。
