環, 体の定義

Section 2.2 環, 体の定義

ここでは、群に演算を加えた「環」と、その特殊な場合である「体」を定義する。群、環、体それぞれに毛色の全く異なった理論が展開されており、代数学の三本柱をなす概念となっている。

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Definition 2.2.1.

空でない集合$R$が環(ring)であるとは、$R$上に2つの演算が以下のように定められているときをいう。
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1. $R$は加法$+$について可換群をなす。
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2. 乗法について結合法則が成り立つ。即ち、任意の元$a,b,c\in R$に対して$a(bc)=(ab)c$である。
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3. 分配法則が成り立つ。つまり、$a(b+c)=ab+ac$である。
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4. 乗法の単位元が存在する。
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乗法の交換法則($ab=ba$)の成り立つような環を可換環(commutative ring)という。環の定義は乗法逆元の存在を規定していないことに注意せよ。

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可換環$K$が$0$以外の乗法逆元を持つならば、$K$を体(field)という。
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環$R$が$0$以外の乗法逆元を持つなら$R$を可除環(division field)または、「不完全な体」のニュアンスをもって斜体(skew field)という。この辺りには流派が存在するが、この本では断らない限り、環は常に可換なものを指すとしよう。したがって単に「体」というと、可換環で乗法逆元をもつ、今定義した普通の体を指す。
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明らかであるが、$\mathbb{Z, Q, R, C}$は可換環になる。

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Example 2.2.2. 自明な環.

$A=\{0\}$とする。通常の乗法と加法により、$A$は環になる。これは単純な集合であり、特別な構造を含んでいないので、自明な環あるいは零環とよばれる。環の乗法単位元を$1$と書くと、$A$では$0=1$である。

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Example 2.2.3. 二元体.

$\mathbb F_2:=\{0,1\}$とおき、演算をMod 2で考えると、これは体になる。これは二元体やブール代数(Boolean algebra)とよばれる。将棋やチェスの盤面など、オン(1)とオフ(0)の状況での処理を高速化するテクニックであるビット演算は、この体での数値計算を指しているといってよい。配列を用いたイテレーションでは各要素を1つずつ回っていかなければならないのに対して、ビット演算は1行単位で処理できるのが速度の秘訣である。チェスや将棋のエンジンなど、木探索の0.1%の速度差がEloレーティングに直結する界隈では基本中の基本となる技術である。

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上の例は2つの元を持つ体だったが、ある整式を考察することにより、素数個の元を持つ体を定義できる。まずはユークリッドの互除法から紹介しよう。

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Proposition 2.2.4. ユークリッドの互除法.

$a\gt b\gt 0$を整数とする。$a$を$b$で割った商を$q$、あまりを$r$とすると、$a,b$の最大公約数$\mathrm{GCD}(a,b)$は$b,r$の最大公約数$\mathrm{GCD}(b,r)$に等しい。

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Proof.

商とあまりの関係は式で表せることを思い出そう。つまり、$q\in \mathbb Z$があり、

\begin{equation*} a=qb+r \tag{$a\leq r\lt b$} \end{equation*}

である。$d\in \mathbb Z$を正の数とする。$d$が$a,b$のいずれをも割り切るなら、$a-qb$も割り切る。よって$d$は$r$を割り切る。よって、$\mathrm{GCD}(a,b)\leq \mathrm{GCD}(b,r)$である。逆に$d$が$b,r$を割り切るとすると、$d$は$qb+r$を割り切り、よって$a,b$を割り切る。これで$\mathrm{GCD}(a,b)=\mathrm{GCD}(b,r)$が言えた。

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ユークリッドの互除法は、たとえば$7x+5y=\mathrm{GCD}(a,b)$を満たすような整数解を求めよ、という典型的な「Bézout(べズー)方程式」の解放法に応用ができる。

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この場合では、

\begin{equation*} 7=5+2 \end{equation*}

\begin{equation*} 5=2\times 2+1 \end{equation*}

なので$\mathrm{GCD}(7,5)=1$であり、

\begin{equation*} 1=5-2\times 2 = 5-2\times(7-5) \\ = 5-2\times 7+2\times 5 \\ =3\times 5+(-2)\times 7 \end{equation*}

となり、$(3,-2)$が解の一つであるといえる。ユークリッドの互除法によって次の定理を得る。

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Theorem 2.2.5. Bézoutの等式.

$\mathrm{GCD}(a,b)=d$なら、

\begin{equation*} ax+by=d \end{equation*}

を満たす$(x,y)$が必ず存在する。

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Corollary 2.2.6.

$a,b\in \mathbb Z$について、$\mathrm{GCD}(a,b)=1$なら$ax+by=1$を満たす整数$(x,y)$が存在する。

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整数$a$を素数$p$と互いに素であるようにとる。系を$a$と素数$p$に対して適用し、等式$ax+bp=1$を得る。これを$\mathbb Z$から$\mathbb Z/p\mathbb Z$へ自然な写像で送ることにより、$ax = 1$となる。これは整数$a\neq 0$に対して$x$がその乗法逆元であることを示している。これによって「有限体」の概念を定義できる。

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Definition 2.2.7.

$\mathbb Z/p\mathbb Z$は位数$p$の体である。これを有限体(Finite field, Galois field)という。

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